Basis dan Dimensi

Hallo semuaa para pengunjung blog, yang hanya mau mampir atau mau nyari pelajaran yang akan saya jelaskan, atau yang tiba-tiba nyasar ke blog saya :v. selamat datang !

Nah, pada kesempatan kali ini saya akan menjelaskan satu materi lagi yang masih berhubungan dengan matriks juga, yakni “Basis dan Dimensi”. Langsung ajaa…

Sebelumnya kalian harus tahu nih, ada beberapa subbab yang terdapat disini, kita akan membahasnya satu per satu .

Basis dan Dimensi

·       Ruang-n Euclides

Jika n sebuah bilangan bulat positif, maka n-pasangan bilangan berurut adalah sebuah urutan n bilangan real (x₁,x₂,…,x_n). Himpunan semua n-pasangan bilangan berurut dinamakan ruang-n Eucides dan dinyatakan dengan Rⁿ.

Definisi. Misalkan u=[u₁,u₂,…,u_n]; v=[v₁,v ₂,…,v_n] vektor di Rⁿ.

o   u = v jika hanya jika u₁ = v₁, u₂ = v₂,…, u_n = v_n

o   u + v = [u₁ + v₁, u₂ + v₂,…, u_n + v_n ]

o   ku = [ku₁, ku₂,…, ku_n]

o   u•v = u₁v₁ + u₂v₂ + … + u_nv_n

o   |u| = (u•u)^1/2 =

·        Ruang Vektor

Misalkan V sembarang himpunan. V dikatakan sebagai ruang vektor, apabila syarat-syarat berikut dipenuhi :

1)    Jika u dan v vektor-vektor di V, maka u + v juga berada di V.

2)     u+v = v+u 

3)     u+(v+w) = (u+v)+w

4)     Ada sebuah vektor 0 di V sehingga 0+u=u+0

5)     Untuk setiap u di V terdapat  –u di V sehingga u+(-u) = -u+u =0

6)     Jika k skalar dan u di V, maka ku berada di V

7)     k(u+v) = ku + kv

8)     (k + l)u = ku + lu

9)     k(lu) = (kl)u

10)                       1u = u

Langkah-langkah pengerjaan :

1.     Tulis yang diketahui

2.     Buat permisalan metriks A dan B dimana bentuknya seperti soal (S)

3.     Jumlahkan matriks A dan B

4.     Cek, apakah ketika dijumlahkan hasilnya merupakan elemen S

Jika iya, maka syarat ke-3 terpenuhi

5.     Lalu, ambil salah satu matriks, kamudian kalikan denga konstanta (K)

6.     Cek, jika dikalikan hasilnya merupakan elemen S, maka syarat ke-4 terpenuhi

Catatan : apabila salah satu syarat tidak terpenuhi, maka ia bukan sub ruang/ ruang vektor.

·        Kombinasi Linier

Sebuah vektor x dikatakan kombinasi linier dari vektor-vektor u₁, u₂,…, u_n jika vektor tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk :

                     x = k₁u₁+ k₂u₂ +… + k_nu_n

dimana k₁, k₂,…,k_n adalah skalar.

Langkah-langkah unuk mengerjakannya ialah :

1.     Tulis yang diketahui

2.     Subtitusikan nilai-nilai yang diketahui ke rumus kombinasi linier

3.     Ubah bentuk vektor menjadi persamaan linier

4.     Ada 2 opsi yaitu, mengerjakan dengan elementasi subtitusi atau dengan metode Operasi Bris Elementer

5.     Kembalikan lagi ke benuk persamaan linier (jika memakai OBE), lalu selesaikan persamaan hingga mendapat nilai dari masing-masing k .

contoh :

misal, , u = [2,-1,3]^T, v = [1,2,-2]^T, apakah x = [8,1,5]^T kombinasi linier dari u dan v.

Jawab

Perhatikan kombinasi linier x = k₁u+k₂v

       [8,1,5]^T = k₁[2,-1,3]^T + k₂[1,2,-2] ^T

x = 3u + 2v

                        Dari kesamaan vektor diperoleh :

                       

                        Di inverskan menjadi :

                       

·        Membangun Ruang Vektor

Jika u₁, u₂,…,u_n adalah vektor-vektor pda ruang vektor V, dan jika setiap vektor x pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier u₁, u₂,…,u_n, maka u₁, u₂,…,u_n dikatakan membangun ruang vektor V

Apabila hasil determinan tidak sama dengan 0, maka ia membangun/merentang.

Apabila hasil determinan sama dengan 0, maka ia tidak membangun/merentang.

                        Langkah-langkah kerjanya ialah sebagai berikut :

1.     Tulis yang diketahui

2.     Berilah perandaian/permisalan pada vektor x, karena pada soal spanning vector x tidak di beri tahu

3.     Subtitusikan nilai-nilai yang diketahui ke rumus kombinasi linier

4.     Ubah bentuk vektor ke bentuk persamaan linier

5.     Dari persamaan linier, ubah ke bentuk matriks

6.     Cari determinannya (jika matriks berordo 3x3 bisa menggunakan metode sarrus, apabila lebih dari 3x3, bisa menggunakan metode ekspansi laplace, chio, Doolitle, crout)

7.     Buat kesimpulannya.

Contoh:

Apakah, u=[1,2,-1]^T, v=[-2,3,3]^T, w=[1,1,2]^T membangun R³?

Pembahasan :

Apabila  x=[x₁,x₂,x₃]^T vektor di R³. Bentuk kombinasi linier,

            x = k₁u + k₂v + k₃w

[x₁,x₂,x₃]^T = k₁[1,2,-1]^T + k₂[-2,3,3]^T + k₃[1,1,2]^T

Dari kesamaan vektor diatas, menghasilkan sistem persamaan linier sebagai berikut :

(Menghitung determinan menggunakan metode sarrus)

·        Kebebasan Linier

Apabila S = {u₁, u₂,…,u_n} adalah himpunan vektor, S dikatakan bebas linier bilamana kombinasi linier :

                k₁u₁ + k₂u₂ + … + k_nu_n = 0

penyelesaiannya adalah trivial yakni k₁ = 0, k₂ = 0,…, k_n = 0. Jika ada penyelesaian lain (non trivial), maka S dikatakan tak bebas linier.

Contoh :

Himpunan vektor, S = {u1,u2,u3}, u1=[2,-1,3]^T, u2=[1,2,-6]^T, u3=[10,5,-15]^T adalah vektor tak bebas linier, karena 3u1 + 4u2 = u3.

Apabila hasil determinan tidak sama dengan 0, maka ia (S) bebas linier.

Apabila hasil determinan sama dengan 0, maka ia (S) bukan bebas linier.

langkah-langkah mengerjakannya ialah :

1.     Tulis yang diketahui

2.     Subtitusikan nila-nilai yang diketahui ke rumus kebebasan linier

3.     Ubah bentuk vektor ke bentuk bentuk persamaan linier

4.     Persamaan linier ubah ke bentuk matriks

5.     Hitung determinannya (jika matriks berordo 3x3 bisa menggunakan metode sarrus, apabila lebih dari 3x3, bisa menggunakan metode ekspansi laplace, chio, Doolitle, crout)

6.     Buatlah kesimpilan dari jawaban.

Contoh :

Himpunan vektor, S = {u1,u2,u3}, dimana u1=[1,-1,2]^T, u2=[-2,3,1]^T, u3=[2,1,3]^T adalah vektor bebas linier, k₁u1 + k₂u2 + k₃u3 = 0, ekuivalen

Pembahasan :

(Menghitung determinan menggunakan metode sarrus)

·        Ruang Hasil Kali Dalam

Sebuah hasil kali dalam (inner product) pada ruang vektor riil V adalah fungsi yang mengasosiasikan bilangan riil [u,v] dengan masing-masing pasangan vektor u dan v pada V sedemikian rupa sehingga aksioma-aksioma berikut ini :

§   [u,v] = [v,u]                                     (aksioma simetri)

§   [u+v,w] = [u,w] + [v,w]  (aksioma penambahan)

§   [ku,v] = k[u,v]                    (aksioma kehomogenan)

§   [u,u] ≥ 0 dan [u,u] = 0 Û u=0   (aksioma kepositifan)

§  Contoh :

Jika u = [u₁,u₂,…,u_n], dan v = [v₁,v₂,…,v_n] adalah vektor-vektor pada Rⁿ, maka :

                  [u,v] = u•v = u₁v₁ + u₂v₂ + … + u_nv_n

adalah hasil kali dalam pada ruang Euclides Rⁿ. Dan u dan v dikatakan ortogonal jika [u,v] = 0. Jika u ortogonal terhadap setiap vektor pada V, maka u dikatakan ortogonal terhadap V.

Basis Ortonormal

Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam dikatakan ortogonal jika semua pasangan vektor-vektor yang berada dalam himpunan tersebut ortogonal. Sebuah himpunan ortogonal yang setiap vektornya panjangnya 1 disebut ortonormal.

Contoh :

S={u1,u2,u3} dengan u1=[1,2,1], u2=[1,-1,1], dan u3=[1,0,-1]. Himpunan S adalah ortogonal pada R³, karena [u1,u2]=[u1,u3]=[u2,u3]=0

§  Catatan :

Jika S = {u₁, u₂,…,u_n} adalah adalah basis ortonormal untuk sebuah ruang hasil kali dalam V, dan jika x sembarang vektor di V, maka :

                x = [x,u₁]u₁  + [x,u₂]u₂ +  … + [x,u_n]u_n  

§  Misalkan V ruang hasil kali dalam dan {u₁,u₂,…,u_n} himpunan ortonormal Jika W ruang yang dibangun oleh u₁,u₂,…,u_n maka setiap vektor x dalam V dapat dinyatakan dengan : x = v + w dimana :

            v = [v,u₁]u₁  + [v,u₂]u₂ +  … + [v,u_n]u_n  

·        Perubahan Basis

Misalkan S={u₁,u₂,…,u_n} basis lama ruang vektor V, dan B={v₁,v₂,…,v_n} basis baru untuk ruang vektor V. Misalkan pula [x]_S matrik koordinat x relatif terhadap S dan [x]_B matrik koordinat x relatif terhadap basis B. Hubungan antara [x]_S dan [x]_B diberikan oleh persamaan :

[x]_S = P[x]_B   dan atau [x]_B=P^-1{x]_S

P adalah matrik transisi dari basis baru B ke basis lama S, dimana kolom-kolom P adalah matrik-matrik koordinat dari vektor-vektor basis baru relatif terhadap basis lama, yaitu :

P= |[v₁]_S [v₂]_S….[v_n]_S|

·        Basis untuk Ruang kosong / Nilitas

Langkah-langkah kerjanya ialah :

1.     Hitung dengan menggunakan metode OBE untuk mendapatkan matriks U.

2.     Ubah matrik U menjadi bentuk persamaan linier

3.     Cari nilai x₁, x₂, x₃,…. (jika da yang bisa dimisalkan, boleh dimisalkan)

4.     Hitung vektor dari Sistem Persamaan Linierberdasarkan x₁, x₂, x₃,….x_n

Catatan :

o   Vektor baris = vektor yang terletak pada baris

o   Vektor kolom =  vektor yang terletak pada kolom

Terima kasih! telah membaca sampai bawah, kurang lebihnya saya sebagai penulis blog memohon maaf. Dan apabila ada kritik, komentar, dan saran atas kesalahan dan kekurangan, bisa langsung tulis saja pada kolom komentar yang sudah tersedia. Semoga bermanfaat :)