Grafik dan Fungsi

Assalamu’alaikum wr.wb.

Hallo para pengunjung blog sekalian !!! Gimana nih kabarnya? Pada sehat dong yaa..aamiiin.

Kalo ada yang lagi gak enak badan mungkin, bisa cepet disembuhkan. Atau mungkin disini ada yang berkunjung hanya untuk melihat-lihat, semoga apa yang kalian lihat ini bisa bermanfaat.

Baiklah, seperti biasa, saya kembali pada kesempatan kali ini akan membahas materi lagi, tentunya masih seputar matematika dong! Lebih tepatnya materi ini ada dalam mata kuliah kalkulus, tapi untuk anak sekolah, materi-materi ini masih bisa disambungin kok, karna materinya juga mirip-mirip sama materi waktu sekolah menengah atas.

Langsung saja yuk!! Materi kali ini adalah… “Grafik dan Fungsi” !

Seperti biasa, sebelum kita masuk ke materi perhitungan kita bakal kenalan dulu nih sama materinya. Check this out!!

Yang pertama kita kenalan sama grafik nih apa sih grafik itu? Grafik : gambar mempresentasikan informasi hubungan satu variabel dengan variabel yang lain. Grafik dengan  sistem koordinat kartesius. Grafik yang paling sederhana adalah garis lurus, dimana persamaannya :

        y=mx + c

m disebut dengan gradien.

Nah, abis itu apalagi nih? Iya, selanjutnya adalah fungsi .

§  Fungsi f adalah suatu aturan yang memetakan setiap objek x dalam satu himpunan (daerah asal) dengan tepat satu nilai f(x) dari himpunan kedua (daerah hasil).

• Persamaan fungsi, ditulis dengan y=f(x) dengan x disebut variabel bebas dan y variabel tak bebas, dimana nilai y tergantung pada nilai variabel bebas x.
• Grafik fungsi y=f(x) adalah himpunan semua titik (x,y) di R², sedemikian rupa sehingga (x,y) merupakan pasangan bilangan berurut.

Nah, udah tahu kan apa sih fungsi sama grafik itu… kali ini kita membahas tentang keduanya itu dijadikan satu!

Cara menghitung grafik fungsi :

-          kita tentukan dulu ia memotong sumbu x pada berapa titik

dengan rumus :

§  apabila D > 0, maka ia memotong sumbu x pada 2 titik

-          kemudian kita hitung titik potong sumbu x, dengan memfaktorkan apa yang ada pada soal (apabila soal terdapat bilangan kuadrat)

-          lalu, kita cari titik potong pada sumbu y dengan memasukkan angka sembarang pada setiap x yang ada pada soal (lebih baik menggunakan angka nol)

-          lalu, sebelum menggambar grafik, kita hitung dulu sumbu simetri pada titik potong x (berlaku apabila memotong sumbu x pada 2 titik)

dengan rumus :

-          barulah kita bisa menggambar grafik sesuai pada titik-titik yang telah dihitung diatas.

Kalo belum ngerti kita bakal coba bahas perhitungannya deh, oke?!

Contoh soal dan Pembahasan :

Soal:

Tentukan titik kritis dari y = ( x-16)(x+8 ), serta buat sketsa grafiknya !
=>> D > 0 ( memotong sumbu x di 2 titik )

Titik potong sumbu x = (16,0), (-8,0)

Titik potong sumbu y = (0,-128)

Sumbu simetri antara 2 titik x / titik puncak  = ( 4, -144 )

Cara menggambar grafik fungsi :

-           pertama kita harus menandai titiknya satu per satu

-          Lalu, kita tandai sumbu simetri antara dua titik x, agar kita tahu titik puncaknya berada dimana, gambarnya akan lebih rapih.

-          Kemudian kita hubungkan dari titik satu dengan lainnya menggunakan garis.

Usai sudah pembahasan materi pada postingan kali ini, untuk kritik, sara, atau mungkin pembenaran bisa langsung saja di tulis pada kolom komentar yang ada! Semoga sedikit materi yang saya bagikan ini bisa bermanfaat bagi kalian, para pengunjung blog ini yang entah dengan cara apa bisa sampai ke blog ini J. Sekian, terima kasih.

Wassalamu’alaikum wr.wb.

Pertidaksamaan Bilangan Real” dan “Pertidaksamaan dan Nilai Mutlak

Assalamu’alaikum wr.wb.

Hallo para pengunjung blog sekalian !! Gimana nih kabarnya? Pada sehat dong yaa..aamiiin.

Kalo ada yang lagi gak enak badan mungkin, bisa cepet disembuhkan. Atau mungkin disini ada yang berkunjung hanya untuk melihat-lihat, semoga apa yang kalian lihat ini bisa bermanfaat.

Baiklah, seperti biasanya, saya kembali pada kesempatan kali ini akan membahas materi lagi, tapi kali ini kita akan ada 2 materi sekaligus nih, tentunya masih seputar matematika dong! Lebih tepatnya materi-materi ini ada dalam mata kuliah kalkulus, tapi untuk anak sekolah, materi-materi ini masih bisa disambungin kok, karna materinya juga mirip-mirip sama materi waktu sekolah menengah atas kalai saya tidak salah ingat.

Langsung saja! Materi kali ialah “Pertidaksamaan Bilangan Real” dan “Pertidaksamaan dan Nilai Mutlak”

nah, sebelum masuk ke materi perhitungannya nih. Udah pada tahu gak sih apa itu bilangan real? Kalau pertidaksamaan mungkin tahu artinya semua yaa..

iya! pertidaksamaan ialah kebalikan dari persamaan yang bertandakan = (sama dengan), sedangkan pertidaksamaan menggunakan tanda > / < (lebih besar atau lebih kecil dari), bisa juga dengan tanda ≥ / ≤ (lebih besar sama dengan atau lebih kecil sama dengan dari). Kalau masih bingung dan mau tahu lebih lengkapnya bisa dilihat dipostingan sebelumnya! (https://xafieranything.blogspot.com/2019/03/pertidaksamaan-bilangan.html)

·        Pertidaksamaan Bilangan Real

Setelah itu, kita bahas dulu nih, apa sih bilangan real itu?

Disini saya mengambil pengertian dari wikipewdia.org yang mengatakan bahwa bilangan real dalam matematika ialah bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk desimal. Bilangan real meliputi bilangan rasional dan bilangan irasional. Untuk lebih lengkapnya bisa dilihat juga pada postingan sebelumnya yaa! (https://xafieranything.blogspot.com/2019/03/macam-macam-bilangan_24.html)

Kita masuk ke materi perhitungannya yukk!!

Sebenarnya dalam kasus ini menggunakan prinsip yang sama dengan prinsip pertidaksamaan sederhana yang sudah dijelaskan sebelumnya, tapi saya akan mengulang sedikit materinya.

Sifat-sifat Pertidaksamaan :

a.       Dalam operasi penjumlahan atau pengurangan.

Jika p < q, jika salah satu sisi dijumlah/dikurangi dengan sebuah angka/bilangan, maka sisi satunya pun harus ikut dijumlah/dikurangi dengan angka/bilangan yang sama.

b.      Perkalian/pembagian dengan bilangan positif ( x > 0 )

Jika a < b, sama seperti penjumlahan, apabila salah satu sisinya dikalikan/dibagi dengan suatu bilangan/angka, maka sisi satunya pun harus ikut dikalikan/dibagi dengan angka yang sama.

c.       Perkalian/pembagian dengan bilangan negatif ( x < 0 )

Jika p < q, maka px < qx, sama seperti yang sebelumnya, apabila salah satu sisinya dikalikan/dibagi dengan suatu bilangan/angka, maka sisi satunya pun harus ikut dikalikan/dibagi dengan angka yang sama. Namun, dalam kasus ini karena dikalikan/dibagi dengan angka/bilangan negatif, maka tandanya harus diubah. Jika sebelumnya lebih besar (>) maka berubah menjadi lebih kecil (<) dan sebaliknya.

Yang diatas adalah sekilas tentang sifat-sifat pertidak samaan, jika masih kurang jelas bisa dilihat di postingan sebelumnya (link)

Setelah itu, kita harus tahu nih interval (jarak) pada bilangan real itu sendiri.

Nah, setelah tahu keterangan-keterangan diatas kita langsung ke soal dan pembahasan yukk!

Contoh soal:

HP : { x | -10 < x < -4 }

NB: untuk mengetahui plus/minus pada garis bilangan kita harus memperhatikan kira-kira tanda apa yang ada pada jawaban, lebih besar/ lebih kecil.

·         Pertidaksamaan dan Nilai Mutlak

Sampailah kita pada materi kedua. Iyups, benar sekali! Materi kedua ini sesuai judulnya dan masih pada materi sebelumnya yaitu tentang “Pertidaksamaan dan Nilai Mutlak”.

Nilai mutlak dari suatu bilangan misalnya x, ditulis |x|

Kemudian |a|  didefinisikan :

·         X , jika a ≥ 0

·         -x , jika a < 0

Yang artinya nilai mutlak bilangan selalu positif.

Dalam pertidaksamaan dengan nilai mutlak, ada 2 rumus yang dipakai, yaitu :

1.       |x| < a , maka –a < x < a

Keterangan : apabila ada nilai mutlak lebih kecil (<) atau lebih kecil sama dengan (≤) dari ruas satunya, maka rumus yang digunakan adalah rumus diatas, dengan a = bilangan pada ruas lain.

2.       |x| > a , maka x < -a   V   x > a

Keterangan : apabila nilai mutlak lebih besar (>) atau lebih besar sama dengan (≥) dari ruas satunya, maka rumus yang digunakan adalah rumus yang ke-2 diatas, dengan a = bilangan pasa ruas lain.

Nah, setelah tahu rumus-rumus yang digunakan untuk perhitungannya kita langsung ke latihan soal yukk!

Contoh Soal:

1.       |x + 13| < 1

2.       |x – 5| ≥ 4

3.       4 < |4 – x| < 6

Pembahasan :

1.       |x + 13| < 1

Karena nilai mutlak lebih kecil dari ruas lain, maka kita menggunakan rumus yang

-a < x < a

Menjadi :

-1 < x + 13 < 1

Setelah itu kita kerjakan seperti pada materi sebelumnya tentang pertidaksamaan bilangan.

-1 < x + 13 < 1

Kita hilangkan angka yang berada satu ruas dengan x, sehingga yang tersisa hanya x saja pada ruasnya.

- 1 – 13 < x + 13 – 13 < 1 – 13

- 14 < x <  -12

HP = { - 14  < x < - 12 }

Maka, himpunan penyelesaian dari |x + 13| < 1 berada diantara – 14 dan – 12 pada garis bilangan, karena x lebih besar dari – 14  dan lebih kecil dari – 12.

1.       |x – 5| ≥ 4

Karena nilai mutlaknya lebih besar sama dengan dari ruas lain, maka dalam kasus ini kita menggunakan rumus yang ke-2, yaitu :

x ≤ -a    V    x ≥ a

Menjadi :

x – 5 < - 4     V     x – 5 > 4

·         x – 5 < - 4

x – 5 + 5 < - 4 + 5

x ≤ 1

·         x – 5 > 4

x – 5 + 5 > 4 + 5

x ≥ 9

                HP = { x ≤ 1 atau x ≥ 9 }

Maka, himpunan penyelesaian dari |x – 5| ≥ 4 ialah lebih kecil sama dengan 1 atau lebih besar sama dengan 9.

1.       4 < |4 – x| < 6

Dilihat dari soal diatas, nilai mutlak berada di tengah – tengah antara lebih besar dan lebih kecil dari ruas yang lainnya, maka penyelesaiannya pun menggunakan ke-2 ruus yang ada, yaitu :

·         -a < x < a

·         x < - a   V   x > a

pengerjaannya bisa dibalik, mau yang lebih kecil terlebih dahulu atau yang lebih besar terlebih dahulu, terserah pada anda sekalian.

Disini saya mengerjakan dari yang lebih kecil terlebih dahulu :

·         4 – x < 6, menjadi :

- 6 < 4 – x < 6

- 6 – 4 < - x < 6 – 4

- 10 < - x < 2

10 > x > -2

·          4 – x > 4, menjadi :

4 – x < - 4       V      4 – x > 4

Ø  4 – x < - 4

4 – 4 – x < - 4 – 4

-x < - 8

x > 8

Ø  4 – x > 4

4 – 4 – x > 4 – 4

-x > 0

x < 0

Untuk mengetahui himpunan penyelesaiannya, kita harus menggabungkan kedua garis bilangan diatas terlebih dahulu.

HP : { - 2 < x < 0 atau 8 < x < 10 }

Dilihat dari garis bilangan diatas, himpunan penyelesaian dari 4 < |4 – x| < 6 adalah x lebih besar dari – 2 dan lebih kecil dari 0 atau x lebih besar dari 8 dan lebih kecil dari 10.

Usai sudah pembahasan materi kali ini! Untuk kritik, sara, atau mungkin pembenaran bisa langsung saja di tulis pada kolom komentar yang ada! Semoga sedikit materi yang saya bagikan ini bisa bermanfaat bagi kalian, para pengunjung blog ini yang entah dengan cara apa bisa sampai ke blog ini J. Sekian, terima kasih.

Wassalamu’alaikum wr.wb.